บทที่ 1. เรื่องเซต

เซต (Sets)

เซต 

ใช้แทนกลุ่มของคน,สัตว์,สิ่งของ หรือสิ่งที่เราสนใจ เราใช้เครื่องหมายปีกกา“{ } ”
แสดงความเป็นเซต และสิ่งที่อยู่ภายในปีกกา  เราเรียกสมาชิกของเซต

เซตที่เท่ากัน 
เซต 2 เซตจะเท่ากันก็ต่อเมื่อจำนวนสมาชิกและสมาชิกของทั้ง 2 เซต เหมือนกันทุกตัว
เช่น A={1,2,3}          B={1,2,3}     จะได้ A=B

เซตที่เทียบเท่ากัน 
เซต 2 เซตจะเทียบเท่ากันก็ต่อเมื่อ จำนวนสมาชิกของทั้ง 2 เซต เท่ากัน
เช่น  A={a,b,c}   ,     B={1,2,3}
จำนวนสมาชิกของ A= จำนวนสมาชิกของ B= 3 ตัว
n( A ) = n ( B ) = 3
ดังนั้น A  เทียบเท่ากับเซต B

เซตจำกัด 
เซตใดๆเป็นเซตจำกัดก็ต่อเมื่อ เรารู้จำนวนสมาชิกของเซตนั้นแน่นอน
เช่น  A={1,2,3,…,100}  จะได้ n(A)=100        A เป็นเซตจำกัด
เซตอนันต์ 
เซตใดๆ จะเป็นเซตอนันต์ ก็ต่อเมื่อ จำนวนสมาชิกของเซตนั้นมากจนหาค่าไม่ได้
เช่น A={1,2,3,…}   จะได้ A เป็นเซตอนันต์

เซตว่าง 
เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิกอยู่เลย เช่น { } = 0

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซตจำนวน 
ใช้    R     แทนจำนวนจริง
Q    แทนจำนวนตรรกยะ
I    แทนจำนวนเต็ม

วิธีการเขียนเซต

• ใช้การแจกแจง     X=1,2,3   A ={1,2,3}  โดย  X ⊂ A
• เขียนแบบบอกเงื่อนไขการเขียนเซตแบบกำหนดเงื่อนไขมีวิธีการเขียนดังนี้

1.เขียนวงเล็บปีกกา
2.เขียนตัวแปร
3.เขียนสัญลักษณ์ “ | ” ตามหลังตัวแปร สัญลักษณ์ตัวนี้อ่านว่า โดยที่
4.เขียนข้อความบรรยายเงื่อนไขตัวแปร ซึ่งเป็นเงื่อนไขของการเป็นสมาชิกของเซตนั้น
5.เขียนวงเล็บปีกกาปิด
ตัวอย่างเช่น
A = {X | X เป็นจำนวนคู่บวกที่น้อยกว่า 10}
เมื่อเขียน A ในแบบแจกแจงสมาชิกจะได้ดังนี้
A ={2,4,6,8}

สับเซต
ถ้าสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B แล้ว จะเรียกว่า A เป็นสับเซตของ B จะเขียนว่า
เซต A เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A ⊂ B

ถ้าสมาชิกบางตัวของ A ไม่เป็นสมาชิกของ B จะเรียกว่า A ไม่เป็นสับเซตของ B
เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A ⊄ B
หมายเหตุ 
1. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง (A ⊂ A)
2. เซตว่าง เป็นสับเซตของทุก ๆ เซต (ø ⊂ A)
3. ถ้า A ⊂ ø แล้ว A = ø
4. ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ C แล้ว A ⊂ C
5. A = B ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B และ B ⊂ A

เพาเวอร์เซต 
คำว่า เพาเวอร์เซต เป็นคำศัพท์เฉพาะ ซึ่งใช้เป็นชื่อเรียกเซตเซตหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับเรื่องสับเซต
เพาเวอร์เซตของ A  เขียนแทนด้วย  P(A)
P(A) คือเซตที่มีสับเซตทั้งหมดของ  A เป็นสมาชิก

การดำเนินการบนเซต
ทำได้4วิธี
1.ยูเนียน (union)
2.อินเตอร์เซคชัน (intersection)
3.คอมพลีเมนท์ (complement)
4.ผลต่าง (difference)
1 ยูเนียน
A ∪ B = {x|x เป็นสมาชิกของ A หรือ x เป็นสมาชิกของ B}

2 อินเตอร์เซคชัน
A ∩ B ={x| x เป็นสมาชิกของ A และ xเป็นสมาชิกของ B}

3 คอมพลีเมนท์
A´ ={x| x เป็นสมาชิกของ U แต่ x ไม่เป็นสมาชิกของ A}

4 ผลต่าง
A-B = {x| x เป็นสมาชิกของ A แต่ไม่เป็นสมาชิกของ B }

ข้อควรรู้

• ø´ = U                 U´ = ø
• A – ø = A             ø – A = A

การพิสูจน์การเท่ากันของเซต
ทำได้ 2 วิธี 1.ใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
2.ใช้สมบัติการดำเนินการบนเซต

สมบัติการดำเนินการบนเซต
สมบัติพื้นฐาน

• A∪∅ = A  ,   A∪U = U

A∩∅ = ø ,   A∩U = U

• A∪B∪C = (A∪B)∪C = A∪(B∪C) = (A∪C)∪B

A∩B∩C = (A∩B)∩C = A∩(B∩C) = (A∩C)∩B

• A∪(B∩C)  = (A∪B)∩(A∪C)

A∩(B∪C)   = (A ∩B)∪(A∩C)

• (A´)´ = A    (A∪B)´ = A´∩B´

(A∩B) ´ = A´∪B´

• A-B = A∩B´

เพิ่มเติม
A ⊂ B   แล้ว    1.  A – B = ø
2.  A∩B = A
3. A∪B = B

การหาจำนวนเซตแบบประยุกต์
1) กำหนด  n(A) = n ,  n(B) = m  โดยที่ A ⊂ B
จำนวนเซต X ซึ่ง A ⊂  X ⊂  B = 2 n(B) – n(A) = 2 m – n เซต
2) กำหนด  n(A) = n ,  n(B) = m  โดยที่ A ⊂ B
จำนวนเซต X ซึ่ง A Ë X แต่ X ⊂ B = 2 n(B) – 2 n(B) – n(A) =2 m- 2 m – n เซต

การหาจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด
1)  2 เซต
– n (A∪B) = n(A) + n(B) –n(A∩B)
– n [(A-B) ∪ (B-A)] = n(A) + n(B) –2[n(A∩B)]
2) 3 เซต
– n (A∪B∪C) = n(A) + n(B) +n(C)-n(A∩B) – n(A∩C) – n(B∩C) + n(A∩B∩C)

ที่มา:https://mathsetter.wordpress.com

เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe)

เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่กำหนดขอบเขตของสิ่งที่ต้องการศึกษา ซึ่งถือว่าเป็นเซตที่ใหญ่ที่สุด โดยมีข้อตกลงว่า ต่อไปจะกล่าวถึงสมาชิกของเซตนี้เท่านั้น จะไม่มีการกล่าวถึงสิ่งใดที่นอกเหนือไปจากสมาชิกของเซตที่กำหนดขึ้นนี้ โดยทั่วไปนิยมใช้สัญลักษณ์ U แทนเอกภพสัมพัทธ์

เช่น กำหนดให้ U = {1,2,3,4,5,6,7,8}

A = {1,3,5,7}

B = {2,4,8}

หรือกำหนดให้ U = {x ε I+ | 1<x<20}

A = {x ε U | x=n+3 เมื่อ n เป็นจำนสวนเต็มคี่บวก}

B = {x ε U | x=n+3 เมื่อ n เป็นจำนสวนเต็มคู่บวก}

นั่นคือทั้ง A และ B เป็นสับเซตของ U

ที่มา:http://www.tewfree.com

สับเซต (Subset)

ถ้าสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B แล้ว จะเรียกว่า A เป็นสับเซตของ B จะเขียนว่า
เซต A เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A ⊂ B

ถ้าสมาชิกบางตัวของ A ไม่เป็นสมาชิกของ B จะเรียกว่า A ไม่เป็นสับเซตของ B
เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A ⊄ B

สมบัติของสับเซต

1) A ⊂ A (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง)

2) A ⊂ U (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์)

3) ø ⊂ A (เซตว่างเป็นสับเซตของทุกๆ เซต)

4) ถ้า A ⊂ ø แล้ว A = ø

5) ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ C แล้ว A ⊂ C (สมบัติการถ่ายทอด)

6) A = B ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B และ B ⊂ A

7) ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตของเซตจะมีทั้งสิ้น 2n สับเซต

สับเซตแท้

นิยาม A เป็นสับเซตแท้ของ B ก็ต่อเมื่อ A⊂B และ A ≠ B

ตัวอย่าง กำหนดให้ A = { a , b , c } จงหาสับเซตแท้ทั้งหมดของ A

วิธีทำ สับเซตแท้ของ A ได้แก่

ø, {a} , {b} ,{c} , {a,b} , {a ,c} , {b,c}

มีจำนวนสมาชิกทั้งสิ้น 7 สับเซต

หมายเหตุ ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตแท้ของเซตA จะมีทั้งสิ้น 2n –1 สับเซต

เราสามารถเขียนความสัมพันธ์ของสับเซตออกมาในรูปของแผนภูมิได้ดังนี้ครับจากรูปแสดงได้ว่า A⊂B

เพาเวอร์เซต (Power Set)

คำว่า เพาเวอร์เซต เป็นคำศัพท์เฉพาะ ซึ่งใช้เป็นชื่อเรียกเซตเซตหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับเรื่องสับเซต

เพาเวอร์เซตของ A เขียนแทนด้วย P(A)

P(A) คือเซตที่มีสับเซตทั้งหมดของ A เป็นสมาชิก

สมบัติของเพาเวอร์เซต

ให้ A , B เป็นเซตใดๆ

1) ø ⊂ P(A)

2) A ⊂ P(A)

3) P(A) ≠ ø

4) P(A) ⊂ P(B) ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B

5) ถ้า A มีสมาชิก n ตัว P(A) จะมีสมาชิก 2n ตัว

ที่มา:http://www.tewfree.com

ยูเนียน อินเตอร์เซกชันและคอมพลีเมนต์ของเซต

ยูเนียน (Union)

         บทนิยาม

      

               เซต A ยูเนียนกับเซต B คือเซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A หรือ เซต B หรือทั้ง A และ B สามารถเขียนแทนได้ด้วย สัญลักษณ์ A ∪ B

ตัวอย่างเช่น A ={1,2,3}

  B= {3,4,5}

 

    ∴  A ∪ B = {1,2,3,4,5}

   อินเตอร์เซกชัน (Intersection)

          บทนิยาม

      เซต A อินเตอร์เซกชันเซต B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A และเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A ∩ B

ตัวอย่างเช่น A ={1,2,3}

  B= {3,4,5}

 

∴A ∩ B = {3}

   

   คอมพลีเมนต์ (Complements)

          บทนิยาม

      ถ้าเซต A ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้วคอมพลีเมนต์ของเซต A คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A'

ตัวอย่างเช่น U = {1,2,3,4,5}

  A ={1,2,3}

 

∴A' = {4,5}

   ผลต่าง (Difference)

        บทนิยาม

      ถ้าเซต A และ B เป็นเซตใดๆในเอกภพสัมพัทธ์ u เดียวกันแล้ว ผลต่างของเซต A และ B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A - B

ตัวอย่างเช่น A ={1,2,3}

  B= {3,4,5}

 

∴A - B = {1,2}

ที่มา:https://sites.google.com