บทที่ 4. เลขยกกำลัง

เลขยกกำลัง

ถ้าx+1ส่วนx=3แล้วxกำลัง2+1ส่วนxกำลัง2มีค่าเท่าใด ทำไงครับ

       {บทความคุณภาพ}}

การยกกำลัง คือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่ง เขียนอยู่ในรูป aⁿ ซึ่งประกอบด้วยสองจำนวนคือ ฐาน a และ เลขชี้กำลัง (หรือ กำลัง) n การยกกำลังมีความหมายเหมือนการคูณซ้ำ ๆ กัน คือ a คูณกันเป็นจำนวน n ตัว เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก

${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n}}$

คล้ายกับการคูณซึ่งมีความหมายเหมือนการบวกซ้ำ ๆ กัน

${\displaystyle a\times n=\underbrace {a+\cdots +a} _{n}}$

โดยปกติเลขชี้กำลังจะแสดงเป็นตัวยกอยู่ด้านขวาของฐาน จำนวน aⁿ อ่านว่า a ยกกำลัง n หรือเพียงแค่ a กำลัง n ในภาษาอังกฤษอาจเรียกการยกกำลังบางตัวต่างออกไปเช่น a²จะเรียกว่า square และ a³ เรียกว่า cube เป็นต้น เมื่อตัวยกไม่สามารถใช้ได้เช่นในข้อความแอสกี ก็มีรูปแบบการเขียนอย่างอื่นที่ใช้กันอาทิ a^n และ a**n เป็นต้น

เลขยกกำลัง aⁿ อาจนิยามให้ n เป็นจำนวนเต็มลบก็ได้เมื่อค่า a ไม่เป็นศูนย์ ตามปกติไม่สามารถกระจายจำนวนจริง a กับ n ได้ทุก ๆ ค่าโดยธรรมชาติ แต่เมื่อฐาน a เป็นจำนวนจริงบวก จำนวน aⁿ สามารถนิยามเลขชี้กำลัง n ได้ทุกค่าแม้แต่จำนวนเชิงซ้อนผ่านฟังก์ชันเลขชี้กำลัง e^z ฟังก์ชันตรีโกณมิติก็สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการยกกำลังได้

การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเมทริกซ์ใช้สำหรับการหาคำตอบของระบบสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น

การยกกำลังก็ใช้งานในความรู้สาขาอื่นอย่างแพร่หลายเช่นเศรษฐศาสตร์ ชีววิทยา เคมี ฟิสิกส์ และวิทยาการคอมพิวเตอร์ ในการใช้งานคำนวณอย่างเช่นดอกเบี้ยทบต้น การเพิ่มประชากร จลนพลศาสตร์เคมี พฤติกรรมของคลื่น และการเข้ารหัสลับแบบกุญแจอสมมาตร เป็นต้น

กราฟของสมการ y = a^x ในฐาน a ต่าง ๆ : ฐาน 10 (สีเขียว), ฐาน e (สีแดง), ฐาน 2 (สีน้ำเงิน), และฐาน ½ (สีฟ้า) เส้นโค้งแต่ละเส้นผ่านจุด (0, 1) เนื่องจากจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ใด ๆ ยกกำลัง 0 จะได้ 1 และที่ x = 1 ค่าของ y จะเท่ากับฐาน เนื่องจากจำนวนใด ๆ ยกกำลัง 1 จะได้จำนวนเดิม

เนื้อหา

• 1เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม
  • 1.1เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก
  • 1.2เลขชี้กำลังเป็น 0 หรือ 1
  • 1.3ความหมายทางคณิตศาสตร์เชิงการจัด
  • 1.4เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ
  • 1.5เอกลักษณ์และสมบัติ
  • 1.6กำลังของ 10
  • 1.7กำลังของ 2
  • 1.8กำลังของ 1
  • 1.9กำลังของ 0
  • 1.10กำลังของ −1
  • 1.11เลขชี้กำลังขนาดใหญ่
• 2กำลังจำนวนจริงของจำนวนจริงบวก
  • 2.1รากที่ n มุขสำคัญ
  • 2.2เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ
  • 2.3กำลังของ e
  • 2.4เลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริง
• 3รากที่ n ที่เป็นลบ
• 4กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก
  • 4.1กำลังจำนวนจินตภาพของ e
  • 4.2ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
  • 4.3กำลังจำนวนเชิงซ้อนของ e
  • 4.4กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก
• 5กำลังของจำนวนเชิงซ้อน
  • 5.1กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนเชิงซ้อน
  • 5.2รากเชิงซ้อนของ 1 (รากปฐมฐาน)
  • 5.3รากของจำนวนเชิงซ้อนโดยทั่วไป
  • 5.4การคำนวณกำลังจำนวนเชิงซ้อน
  • 5.5ความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึม
• 60 ยกกำลัง 0
  • 6.1มุมมองที่แตกต่างในอดีต
  • 6.2การปฏิบัติในคอมพิวเตอร์
    • 6.2.1มาตรฐานจำนวนจุดลอยตัว IEEE
    • 6.2.2ภาษาโปรแกรม
    • 6.2.3ซอฟต์แวร์คณิตศาสตร์
• 7ลิมิตของการยกกำลัง
• 8การคำนวณกำลังจำนวนเต็มอย่างมีประสิทธิภาพ
• 9สัญกรณ์ยกกำลังสำหรับชื่อฟังก์ชัน
• 10การวางนัยทั่วไป
  • 10.1พีชคณิตนามธรรม
  • 10.2เซต
  • 10.3ทฤษฎีประเภท
  • 10.4จำนวนเชิงการนับและจำนวนเชิงอันดับที่
• 11การยกกำลังซ้อน
• 12ในภาษาโปรแกรม
• 13ประวัติของสัญกรณ์
• 14อ้างอิง
• 15ดูเพิ่ม
• 16แหล่งข้อมูลอื่น

เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม[แก้]

การดำเนินการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนเต็ม เป็นข้อกำหนดที่จำเป็นของพีชคณิตมูลฐานเท่านั้น

เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก[แก้]

นิพจน์ a² = a·a เรียกว่า square หมายถึงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (ดูเพิ่มที่การยกกำลังสอง) เพราะรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาวด้านละ a หน่วย มีพื้นที่เท่ากับ a² ตารางหน่วย

นิพจน์ a³ = a·a·a เรียกว่า cube หมายถึงทรงลูกบาศก์ (ดูเพิ่มที่การยกกำลังสาม) เพราะทรงลูกบาศก์ที่มีด้านยาวด้านละ a หน่วย มีปริมาตรเท่ากับ a³ ลูกบาศก์หน่วย

เลขชี้กำลังเป็นตัวบ่งบอกว่าจะนำฐานมาคูณกันกี่ตัว (ไม่ใช่คูณกันกี่ครั้ง) ตัวอย่างเช่น 3⁵ = 3·3·3·3·3 = 243 ดังนี้ฐาน 3 ปรากฏ 5 ครั้งในการคูณเพราะเลขชี้กำลังเป็น 5; ค่า 243 เป็น กำลัง ของ 3 คือผลลัพธ์ที่ได้จาก 3 ยกกำลัง 5

การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก อาจนิยามได้จากความสัมพันธ์เวียนเกิด aⁿ⁺¹ = a·aⁿ โดยให้เงื่อนไขเริ่มต้นเป็น a¹ = a

เลขชี้กำลังเป็น 0 หรือ 1[แก้]

เนื่องจาก a¹ หมายถึงผลคูณของ a เพียง 1 ตัว ซึ่งถูกนิยามให้มีค่าเท่ากับ a

จากความสัมพันธ์เวียนเกิดอีกรูปแบบหนึ่ง a^{n − 1} = aⁿ/a เมื่อสมมติให้ n = 1 จะได้ a⁰ = 1

หรือกล่าวอีกทางหนึ่งว่า กำหนดให้ n, m, และ n−m เป็นจำนวนเต็มบวก (โดยที่ a ไม่เท่ากับศูนย์) จะได้ความสัมพันธ์

${\displaystyle {\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}}$

ในกรณีที่ n และ m มีค่าเท่ากัน สมการดังกล่าวจะกลายเป็น

${\displaystyle 1={\frac {a^{n}}{a^{n}}}=a^{n-n}=a^{0}}$

เนื่องจากตัวเศษและตัวส่วนมีค่าเท่ากัน ดังนั้นจึงสามารถนิยามค่าของ a⁰ = 1 นำไปสู่กฎสองประการ

• จำนวนใด ๆ ยกกำลัง 1 จะได้ตัวมันเอง
• จำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ ยกกำลัง 0 จะได้ 1 ซึ่งเป็นการตีความมาจากผลคูณว่าง สำหรับกรณี 0⁰ ดูเพิ่มที่หัวข้อ 0 ยกกำลัง 0

ความหมายทางคณิตศาสตร์เชิงการจัด[แก้]

สำหรับ n และ m ที่เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ (จำนวนเต็มบวกรวมทั้งศูนย์) เลขยกกำลัง n^m จะหมายถึงภาวะเชิงการนับ (cardinality) ของเซตของ m สิ่งอันดับ (m-tuple) ที่ได้จากเซตที่มีสมาชิก n ตัว หรือพูดอีกนัยหนึ่งคือ เป็นจำนวนของคำที่มีตัวอักษร m ตัว จากชุดตัวอักษร n ตัว

05 = │ {} │ = 0	ไม่มีห้าสิ่งอันดับ จากเซตว่าง
14 = │ { (1, 1, 1, 1) } │ = 1	มีสี่สิ่งอันดับ 1 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 1 ตัว
23 = │ { (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2) } │ = 8	มีสามสิ่งอันดับ 8 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 2 ตัว
32 = │ { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3) } │ = 9	มีสองสิ่งอันดับ (คู่อันดับ) 9 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 3 ตัว
41 = │ { (1), (2), (3), (4) } │ = 4	มีหนึ่งสิ่งอันดับ 4 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 4 ตัว
50 = │ { () } │ = 1	มีศูนย์สิ่งอันดับ 1 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 5 ตัว

ดูเพิ่มเติมที่หัวข้อการยกกำลังบนเซต

เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ[แก้]

จากนิยาม จำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ เมื่อยกกำลังด้วย −1 จะทำให้เกิดส่วนกลับหรือตัวผกผันการคูณ

${\displaystyle a^{-1}={\frac {1}{a}}}$

จึงสามารถนิยามว่า

${\displaystyle a^{-n}=(a^{n})^{-1}={\frac {1}{a^{n}}}}$

เมื่อ a เป็นจำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์และ n เป็นจำนวนเต็มบวก แต่สำหรับจำนวน 0 ยกกำลังจำนวนลบ จะทำให้เกิดกรณีการหารด้วยศูนย์ จึงไม่มีการนิยาม

นิยามของ a⁻ⁿ สำหรับค่า a ใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ ทำให้เอกลักษณ์ a^maⁿ = a^m+n เป็นจริงบนทุกช่วงจำนวนเต็มของ m กับ n (ทั้งบวก ลบ และศูนย์) จากเดิมเป็นจริงเฉพาะเมื่อ m กับ n เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการใช้เอกลักษณ์นี้โดยกำหนดให้ m = −n จะทำให้

${\displaystyle a^{-n}\,a^{n}=a^{-n\,+\,n}=a^{0}=1}$

เมื่อ a⁰ ได้นิยามเช่นนั้นแล้ว เป็นเหตุให้นำไปสู่การนิยาม a⁻ⁿ = 1/aⁿ ดังที่ได้กล่าวแล้ว

การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ อาจสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการหารซ้ำ ๆ จาก 1 ด้วยฐานก็ได้ ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle 3^{-4}=(((1/3)/3)/3)/3={\frac {1}{81}}={\frac {1}{3^{4}}}}$

เอกลักษณ์และสมบัติ[แก้]

เอกลักษณ์สำคัญที่สุดของการยกกำลังที่สอดคล้องกับกรณีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มคือ

${\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}}$

เอกลักษณ์นี้จึงเป็นผลที่ตามมา

${\displaystyle a^{m-n}={\frac {a^{m}}{a^{n}}};\;a\neq 0}$

และ

${\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}}$

เอกลักษณ์พื้นฐานอีกอันหนึ่งคือ

${\displaystyle (a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}}$

ในขณะที่การบวกและการคูณมีสมบัติการสลับที่ เช่น 2+3 = 5 = 3+2 และ 2·3 = 6 = 3·2 แต่การยกกำลังไม่มีสมบัติการสลับที่ เช่น 2³ = 8 แต่ 3² = 9

และเช่นเดียวกัน ในขณะที่การบวกและการคูณมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ เช่น (2+3) +4 = 9 = 2+ (3+4) และ (2·3) ·4 = 24 = 2· (3·4) แต่การยกกำลังไม่มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ตัวอย่างเช่น "2³ ยกกำลัง 4" จะได้ผลลัพธ์เป็น 8⁴ หรือเท่ากับ 4,096 แต่ "2 ยกกำลัง 3⁴" จะได้ผลลัพธ์เป็น 2⁸¹ หรือ 2,417,851,639,229,258,349,412,352 ถ้าหากเขียนเลขยกกำลังซ้อนกันโดยไม่ใส่วงเล็บ ลำดับของการคำนวณจะทำจากตัวบนสุดมาก่อน นั่นคือ

${\displaystyle a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}\neq (a^{b})^{c}}$

กำลังของ 10[แก้]

ดูเพิ่มเติมที่: สัญกรณ์วิทยาศาสตร์

ในระบบเลขฐานสิบ กำลังจำนวนเต็มของ 10 สามารถเขียนแทนได้ด้วยเลข 1 ตามด้วยหรือนำโดยเลข 0 จำนวนหนึ่ง ซึ่งพิจารณาจากเครื่องหมายและขนาดของเลขชี้กำลัง ตัวอย่างเช่น 10³ = 1,000 และ 10⁻⁴ = 0.0001 เป็นต้น

การยกกำลังด้วยฐาน 10 ถูกใช้ในสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ เพื่อใช้อธิบายจำนวนขนาดใหญ่หรือเล็กมาก ตัวอย่างเช่น จำนวน 299,792,458 เมตรต่อวินาที (ความเร็วแสงในสุญญากาศ) สามารถเขียนได้เป็น 2.99792458×10⁸ m/s หรือเท่ากับประมาณ 2.998×10⁸ m/s

คำอุปสรรคในหน่วยเอสไอที่มีพื้นฐานบนกำลังของ 10 ก็ถูกใช้อธิบายปริมาณที่ใหญ่หรือเล็กมากได้เช่นกันเช่น คำอุปสรรค กิโล หมายถึง 10³ = 1,000 ดังนั้น 1 กิโลเมตรจึงเท่ากับ 1,000 เมตร

กำลังของ 2[แก้]

กำลังจำนวนเต็มบวกของ 2 เป็นสิ่งที่สำคัญในวิทยาการคอมพิวเตอร์ เพราะว่าตัวแปรฐานสองขนาด n บิต จะมีค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด 2ⁿ ค่า

กำลังของ 2 ก็เป็นสิ่งสำคัญในทฤษฎีเซต เนื่องจากเซตเซตหนึ่งที่มีสมาชิก n ตัว จะมีเซตกำลังที่มีสมาชิก 2ⁿ ตัว (เซตกำลังคือเซตของเซตย่อยทั้งหมดจากเซตต้นแบบ)

กำลังจำนวนเต็มลบของ 2 ก็ใช้กันทั่วไป เช่น 2⁻¹ = 12 หมายถึงครึ่ง (half), 2⁻² = 14 คือหนึ่งในสี่ (quarter) เป็นต้น

ในระบบเลขฐานสอง กำลังจำนวนเต็มของ 2 ก็สามารถเขียนแทนได้ด้วยเลข 1 แล้วตามด้วยหรือนำโดยเลข 0 ซึ่งพิจารณาจากเครื่องหมายและขนาดของเลขชี้กำลัง ตัวอย่าง 2³เขียนในเลขฐานสองว่า 1000₂ เป็นต้น

กำลังของ 1[แก้]

กำลังจำนวนเต็มของ 1 ทุกจำนวนมีค่าเท่ากับ 1 นั่นคือ 1ⁿ = 1

กำลังของ 0[แก้]

ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนบวก เลขยกกำลังของ 0 จะได้ 0 นั่นคือ 0ⁿ = 0; n > 0

ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนลบ เลขยกกำลังของ 0 จะไม่นิยาม เนื่องจากทำให้เกิดการหารด้วยศูนย์

ถ้าเลขชี้กำลังเป็นศูนย์ ผู้แต่งตำราบางท่านได้นิยามว่า 0⁰ = 1 ในขณะที่บางท่านก็คงไว้ว่าไม่นิยาม ดูที่หัวข้อ 0 ยกกำลัง 0

กำลังของ −1[แก้]

ถ้า n เป็นจำนวนคู่ จะได้ (−1) ⁿ = 1

ถ้า n เป็นจำนวนคี่ จะได้ (−1) ⁿ = −1

จากสมบัติดังกล่าว กำลังของ −1 จึงมีประโยชน์ในการแสดงลำดับที่มีการสลับเครื่องหมาย ส่วนกรณีที่คล้ายกันสำหรับจำนวนเชิงซ้อน i ดูที่หัวข้อกำลังของจำนวนเชิงซ้อน

เลขชี้กำลังขนาดใหญ่[แก้]

ลิมิตของลำดับของกำลังของจำนวนที่มากกว่า 1 จะลู่ออก หมายความว่าจะมีค่าเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ โดยไม่จำกัด

aⁿ → ∞ เมื่อ n → ∞ ถ้า a > 1

อาจเรียกได้ว่า a ยกกำลัง n จะมีค่าเข้าใกล้อนันต์ถ้า n มีค่าเข้าใกล้อนันต์ เมื่อ a มีค่ามากกว่า 1

สำหรับกำลังของจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า 1 ลิมิตของลำดับจะลู่เข้าค่า 0

aⁿ → 0 เมื่อ n → ∞ ถ้า |a| < 1

และกำลังของ 1 จะได้ค่า 1 เสมอ

aⁿ = 1 สำหรับทุกค่าของ n ถ้า a = 1

แต่หากฐาน a มีค่าเข้าใกล้ 1 พร้อมกับเลขชี้กำลังมีค่าเข้าใกล้อนันต์ ลิมิตของมันไม่สำคัญว่าจะต้องเท่ากับ 1 ตัวอย่างกรณีหนึ่งที่สำคัญคือ

(1 + n⁻¹) ⁿ → e เมื่อ n → ∞

ดูเพิ่มในกำลังของ e

กำลังจำนวนจริงของจำนวนจริงบวก[แก้]

การยกกำลังจำนวนจริงบวก ด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม สามารถคำนวณได้สองวิธีนั่นคือ

• เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ สามารถนิยามให้เป็นรากที่ n และเลขชี้กำลังที่ไม่เป็นศูนย์สามารถนิยามได้จากความต่อเนื่อง
• เลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริง สามารถนิยามให้เป็นลอการิทึมธรรมชาติโดยใช้ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

เอกลักษณ์และสมบัติที่แสดงไว้ด้านบนซึ่งนิยามไว้สำหรับเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม ก็ยังคงเป็นจริงอยู่สำหรับเลขชี้กำลังจำนวนจริงบวกที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม อย่างไรก็ตามเอกลักษณ์นี้

${\displaystyle (a^{r})^{s}=a^{r\cdot s}}$

ไม่สามารถขยายแนวคิดได้อย่างคงเส้นคงวาถ้า a เป็นจำนวนจริงลบ ดูเพิ่มที่หัวข้อรากที่ n ที่เป็นลบ ความผิดพลาดของเอกลักษณ์นี้เป็นมูลฐานของปัญหาที่เกี่ยวกับกำลังของจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งได้อธิบายไว้แล้วที่หัวข้อความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึม

รากที่ n มุขสำคัญ[แก้]

จากบนลงล่าง: x^1/8, x^1/4, x^1/2, x¹, x², x⁴, x⁸

ดูบทความหลักที่: รากที่ n

รากที่ n ของจำนวน a คือจำนวน x ที่ซึ่ง xⁿ = a

ถ้า a เป็นจำนวนจริงบวกและ n เป็นจำนวนเต็มบวก จะมีคำตอบสำหรับ xⁿ = a ที่เป็นจำนวนจริงบวกหนึ่งจำนวนอย่างแน่นอน คำตอบดังกล่าวเรียกว่า รากที่ n มุขสำคัญของ a (principal n-th root) เขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$ เมื่อ ${\displaystyle {\sqrt {\,\,}}}$ คือกรณฑ์ หรือเขียนอีกรูปแบบหนึ่งเป็น a^1/n เช่น 4^1/2 = 2, 8^1/3 = 2

เมื่อพูดถึงรากที่ n ของจำนวนจริงบวก a มักจะหมายถึงรากที่ n มุขสำคัญของ a ดังที่ได้กล่าวแล้ว

เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ[แก้]

กำลังของจำนวนจริงบวก a ซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ m/n ในพจน์น้อยที่สุด สอดคล้องกับ

${\displaystyle a^{m/n}=\left(a^{m}\right)^{1/n}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}$

เมื่อ m เป็นจำนวนเต็มและ n เป็นจำนวนเต็มบวก

กำลังของ e[แก้]

ดูบทความหลักที่: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

e หรือค่าคงตัวของออยเลอร์ เป็นค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญค่าหนึ่ง มีค่าประมาณ 2.718 และเป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ ใช้เป็นแนวทางนำไปสู่การนิยามการยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังไม่เป็นจำนวนเต็ม ค่าคงตัวนี้นิยามโดยลิมิตต่อไปนี้ ซึ่งเลขชี้กำลังมีค่าเข้าใกล้อนันต์ในขณะที่ฐานมีค่าเข้าใกล้ 1

${\displaystyle e=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งนิยามโดยลิมิตต่อไปนี้

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$

มี x เป็นเลขชี้กำลังเพิ่มเข้ามา และสอดคล้องกับเอกลักษณ์การยกกำลัง

${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y}}$

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังนิยามขึ้นสำหรับ x ที่เป็นจำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด นอกจากนี้ก็สามารถขยายการยกกำลังไปบนสิ่งอื่นที่ไม่ใช่จำนวนได้เช่นเมทริกซ์จัตุรัส อย่างไรก็ตามเอกลักษณ์การยกกำลังที่ยกมาจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ x และ y สามารถสลับที่กันได้เท่านั้น

การพิสูจน์อย่างสั้นว่า e ยกกำลังจำนวนเต็มบวก k เหมือนกับฟังก์ชันเลขชี้กำลัง e^k แสดงได้ดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}(e)^{k}&=\left[\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left[\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{k}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}=\lim _{n\cdot k\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}\\&=\lim _{m\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {k}{m}}\right)^{m}=e^{k}\end{aligned}}}$

แสดงให้เห็นว่า e^x+y สอดคล้องกับเอกลักษณ์การยกกำลังเมื่อ x และ y เป็นจำนวนเต็มบวก ผลจากการพิสูจน์ยังคงสอดคล้องสำหรับจำนวนทุกจำนวนด้วย ไม่เพียงแค่จำนวนเต็มบวก

เลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริง[แก้]

เนื่องจากจำนวนจริงสามารถประมาณค่าได้ด้วยจำนวนตรรกยะ การยกกำลังด้วยจำนวนจริง x ทุกจำนวนจึงสามารถนิยามได้ด้วยความต่อเนื่องด้วยกฎดังนี้

${\displaystyle b^{x}=\lim _{r\to x}b^{r}\quad (r\in \mathbb {Q} ,\,x\in \mathbb {R} )}$

ลิมิตดังกล่าวซึ่ง r ที่มีค่าเข้าใกล้ x ถูกนำมาแทนที่เฉพาะจำนวนตรรกยะ r

ยกตัวอย่าง ถ้า

${\displaystyle x\approx 1.732}$

ดังนั้น

${\displaystyle 5^{x}\approx 5^{1.732}=5^{433/250}={\sqrt[{250}]{5^{433}}}\approx 16.241}$

การยกกำลังด้วยจำนวนจริงโดยปกติก็สามารถทำให้สำเร็จได้ด้วยลอการิทึม แทนที่จะใช้ลิมิตของจำนวนตรรกยะ

ลอการิทึมธรรมชาติ ln (x) เป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง e^x ซึ่งนิยามไว้สำหรับ b > 0 และสอดคล้องกับเงื่อนไข

${\displaystyle b=e^{\ln b}\,}$

ถ้า b^x ถูกนิยามขึ้นโดยยังคงรักษากฎต่าง ๆ ของลอการิทึมและการยกกำลัง จะได้ว่า

${\displaystyle b^{x}=(e^{\ln b})^{x}=e^{x\cdot \ln b}}$

สำหรับจำนวนจริง x แต่ละจำนวน

สิ่งนี้สามารถใช้เป็นนิยามทางเลือกของการยกกำลังด้วยจำนวนจริง b^x และสอดคล้องกับวิธีการใช้เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะกับความต่อเนื่อง นิยามดังกล่าวเป็นวิธีการปกติสามัญในบริบทของจำนวนเชิงซ้อนอีกด้วย

รากที่ n ที่เป็นลบ[แก้]

กำลังของจำนวนจริงบวกจะมีค่าเป็นจำนวนจริงบวกเสมอ อย่างไรก็ตาม คำตอบของสมการ x² = 4 อาจเป็น 2 หรือ −2 ก็ได้ ค่ามุขสำคัญของ 4^1/2 คือ 2 แต่ −2 ก็เป็นรากที่สองที่ถูกต้องอีกค่าหนึ่งด้วย หากนิยามของการยกกำลังของจำนวนจริงขยายแนวคิดให้มีผลลัพธ์เป็นจำนวนลบได้ ผลของการยกกำลังอาจลักลั่น

ถ้า n เป็นจำนวนคู่ จากสมการ xⁿ = a ถ้า a เป็นบวกจะมีสองคำตอบ ได้แก่รากที่ n ที่เป็นบวกและลบ แต่ถ้า a เป็นลบจะไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง

ถ้า n เป็นจำนวนคี่ จากสมการ xⁿ = a จะมีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงหนึ่งจำนวน ถ้า a เป็นบวกก็จะได้คำตอบนั้นเป็นบวก และถ้า a เป็นลบก็จะได้คำตอบนั้นเป็นลบ

สำหรับเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนตรรกยะ m/n ในพจน์น้อยที่สุด ถ้า m เป็นจำนวนคู่ ผลลัพธ์จะเป็นบวก; ในกรณีที่ a เป็นลบ ถ้า m กับ n เป็นจำนวนคี่ ผลลัพธ์จะเป็นลบ; ในกรณีที่ aเป็นบวกและ n เป็นจำนวนคู่ ผลลัพธ์อาจเป็นบวกหรือลบอย่างใดอย่างหนึ่ง ตัวอย่างเช่น (−27) ^1/3 = −3, (−27) ^2/3 = 9, 4^3/2 มีสองคำตอบคือ 8 กับ −8 และเนื่องจากไม่มีจำนวนจริง xที่ทำให้ x² = −1 ดังนั้นนิยามของ a^m/n ในกรณีที่ a เป็นลบและ n เป็นจำนวนคู่ จึงจำเป็นต้องใช้หน่วยจินตภาพ i เข้ามาเกี่ยวข้อง

ไม่ว่าวิธีการใช้ลอการิทึมหรือเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ ก็ไม่สามารถนิยาม a^r ให้เป็นจำนวนจริงได้ สำหรับ a ที่เป็นจำนวนจริงลบและทุกช่วงค่าของจำนวนจริง r และทำนองเดียวกัน e^r ให้ผลลัพธ์เป็นบวกสำหรับทุกช่วงค่าของจำนวนจริง r ดังนั้น ln (a) ซึ่งเป็นฟังก์ชันผกผันจึงไม่อาจนิยามให้เป็นจำนวนจริงได้สำหรับ a ≤ 0 (ในทางตรงข้าม กำลังเชิงซ้อนของจำนวนลบ a สามารถนิยามได้ด้วยลอการิทึมเชิงซ้อนของ a)

วิธีการใช้เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะไม่สามารถใช้ได้กับค่า a ที่เป็นลบ เพราะวิธีการนี้ขึ้นอยู่กับความต่อเนื่อง หมายความว่า ฟังก์ชัน f (r) = a^r เป็นการขยายจำนวนตรรกยะไปเป็นจำนวนจริงอย่างต่อเนื่องเพียงหนึ่งเดียวเมื่อ a > 0 แต่ในกรณี a < 0 ฟังก์ชัน f ไม่ต่อเนื่องบนเซตของจำนวนจริง r ที่กำหนดไว้แต่ละค่า

ตัวอย่าง สมมติให้ a = −1 รากที่ n ของ −1 เท่ากับ −1 สำหรับจำนวนคี่บวก n ทุกจำนวน; แต่ถ้า n เป็นจำนวนคู่บวก (−1) ^(m/n) = −1 เมื่อ m เป็นจำนวนคี่, (−1) ^(m/n) = 1 เมื่อ m เป็นจำนวนคู่ ดังนั้นเซตของจำนวนตรรกยะ q ที่ทำให้ (−1) ^q = 1 เป็นเซตหนาแน่น (dense set) ในจำนวนตรรกยะ เช่นเดียวกับเซตของ q ที่ทำให้ (−1) ^q = −1 สิ่งนี้หมายความว่าฟังก์ชัน (−1) ^q ไม่ต่อเนื่องที่จำนวนตรรกยะ q ใด ๆ ที่กำหนดไว้แต่ละค่า

เมื่อใช้เอกลักษณ์การยกกำลังกับรากที่ n ที่เป็นลบ จำเป็นต้องระมัดดระวังเป็นพิเศษ ตัวอย่างเช่น −27 =  (−27) ^{( (2/3) × (3/2) )}  =  ( (−27) ^2/3) ^3/2 = 9^3/2 = 27 ซึ่งผิดอย่างชัดเจน ปัญหาอยู่ที่การใช้รากที่สองที่เป็นบวก แทนที่จะใช้รากที่สองที่เป็นลบในขั้นตอนสุดท้าย แต่โดยทั่วไปปัญหาที่คล้ายกันนี้มักเกิดขึ้นกับจำนวนเชิงซ้อน ดังที่ได้อธิบายไว้ในหัวข้อความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึม

กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก[แก้]

กำลังจำนวนจินตภาพของ e[แก้]

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง e^z สามารถนิยามโดยลิมิตของ(1 + z/N) ^N เมื่อ N มีค่าเข้าใกล้อนันต์ และเมื่อเป็นเช่นนั้น e^iπ ก็จะเป็นลิมิตของ (1 + iπ/N) ^N ในภาพเคลื่อนไหวนี้ Nมีค่าเพิ่มขึ้นจาก 1 ถึง 100 การคำนวณ (1 + iπ/N) ^N แสดงเป็นผลร่วมที่เกิดจากการคูณซ้ำ ๆ N ตัวในระนาบเชิงซ้อนซึ่งจุดสุดท้ายเป็นค่าที่แท้จริงของ (1 + iπ/N) ^N แสดงให้เห็นว่าเมื่อ N มากขึ้น (1 + iπ/N) ^N จะมีค่าเข้าใกล้ −1 ดังนั้น e^iπ = −1 ซึ่งเป็นที่รู้จักในชื่อเอกลักษณ์ของออยเลอร์

ดูบทความหลักที่: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

การทำความเข้าใจ e^ix สำหรับจำนวนจริง x ต้องทราบถึงการแปลความหมายเชิงเรขาคณิตของการดำเนินการบนจำนวนเชิงซ้อน และนิยามกำลังของ e ดังที่กล่าวไว้แล้วข้างต้น พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (0, 1, 1 + ix/n) สำหรับจำนวน n ที่มีขนาดใหญ่มาก ๆ รูปสามเหลี่ยมนั้นจะมีลักษณะเข้าใกล้เซกเตอร์ของรูปวงกลมมากยิ่งขึ้น โดยมีมุมที่จุดศูนย์กลางเท่ากับ x/n เรเดียน และรูปสามเหลี่ยมอื่น ๆ (0, (1 + ix/n) ^k, (1 + ix/n) ^k+1) ก็เป็นรูปสามเหลี่ยมคล้ายร่วมกันสำหรับ k ทุกค่า เพราะฉะนั้น สำหรับจำนวน n ขนาดใหญ่ จุดที่เป็นขอบเขตของ (1 + ix/n) ⁿ ก็คือจุดที่อยู่บนรูปวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งมุมที่วัดจากแกนจำนวนจริงบวกเท่ากับ x เรเดียน พิกัดเชิงขั้วของจุดนี้คือ (r, θ) = (1, x) และพิกัดคาร์ทีเซียนคือ (cos x, sin x) ดังนั้นในท้ายที่สุด e^ix = cos x + i sin x เรียกว่าสูตรของออยเลอร์ ซึ่งเชื่อมโยงพีชคณิตกับตรีโกณมิติด้วยความหมายของจำนวนเชิงซ้อน

คำตอบของสมการ e^z = 1 คือพหุคูณจำนวนเต็มของ 2πi

${\displaystyle \{z:e^{z}=1\}=\{2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}}$

ในกรณีทั่วไป ถ้ากำหนดให้ e^b = a ดังนั้นคำตอบของสมการ e^z = a หาได้โดยการบวก b เข้ากับพหุคูณจำนวนเต็มของ 2πi

${\displaystyle \{z:e^{z}=a\}=\{b+2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}}$

ดังนั้นฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนเป็นฟังก์ชันเป็นคาบ (periodic function) ซึ่งมีคาบเท่ากับ 2πi

นอกจากนี้ก็ยังมีสูตรอื่น ๆ อีกเช่น e^iπ = −1; e^x + iy = e^x (cos y + i sin y)

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ[แก้]

ดูบทความหลักที่: สูตรของออยเลอร์

จากการแปลงสูตรของออยเลอร์ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ โคไซน์และไซน์ถูกแปลงเป็น

${\displaystyle \cos(z)={\frac {e^{i\cdot z}+e^{-i\cdot z}}{2}};\qquad \sin(z)={\frac {e^{i\cdot z}-e^{-i\cdot z}}{2\cdot i}}}$

โคไซน์และไซน์ถูกนิยามขึ้นโดยทางเรขาคณิตก่อนมีการประดิษฐ์จำนวนเชิงซ้อนในประวัติศาสตร์ สูตรทั้งสองด้านบนเป็นการลดรูปสูตรที่ซับซ้อนของฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกเป็นสูตรการยกกำลังอย่างง่ายว่า

${\displaystyle e^{i\cdot (x+y)}=e^{i\cdot x}\cdot e^{i\cdot y}}$

การใช้การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเชิงซ้อน อาจช่วยลดรูปปัญหาในตรีโกณมิติไปเป็นพีชคณิตได้

กำลังจำนวนเชิงซ้อนของ e[แก้]

การยกกำลัง z = e^x+i·y สามารถคำนวณได้จาก e^x · e^i·y; ตัวประกอบส่วนจริง e^x คือค่าสัมบูรณ์ของ z และตัวประกอบส่วนจินตภาพ e^i·y ระบุทิศทางของ z

กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก[แก้]

กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริงบวก และ z เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ การยกกำลัง a^z นิยามโดย e^{z·ln (a)} เมื่อ x = ln (a) เป็นคำตอบจำนวนจริงเพียงหนึ่งเดียวของสมการ e^x = a ดังนั้นวิธีการเดียวกันที่ใช้กับเลขชี้กำลังจำนวนจริงก็ยังคงใช้ได้กับเลขชี้กำลังจำนวนเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น

2ⁱ = e ^{i·ln (2)} = cos (ln (2) ) + i·sin (ln (2) ) ≈ 0.76924 + 0.63896i

eⁱ ≈ 0.54030 + 0.84147i

10ⁱ ≈ −0.66820 + 0.74398i

(e^2π) ⁱ ≈ 535.49ⁱ ≈ 1

ที่มา:https://th.wikipedia.org